Título
L�MITES SINGULARES Y ECUACIONES EL�PTICAS

Organismo de Contraparte de CONICYT: ECOS

Año de la Convocatoria: 2002

Sitio Web del Proyecto:

Resumen del Proyecto:

El estudio de l�mites singulares consiste en comprender c�mo un modelo aproxima a otro, cuando los valores de ciertos par�metros tienden a valores l�mite. M�s a�n interesa saber c�mo las soluciones del modelo original aproximan a una o varias soluciones del modelo l�mite. El punto interesante es que este proceso de l�mite requiere de un an�lisis profundo de los modelos, pues los resultados no se obtienen simplemente de un l�mite formal. Es necesario entender las complejidades intr�nsecas del modelo, las que tienen manifestaciones anal�ticas y num�ricas muy importantes.

Esta definici�n de l�mite singular es ciertamente un poco restrictiva, pero dentro del contexto de las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales ella contempla una gran variedad de problemas, por ejemplo, de frontera libre, transiciones de fase, problemas de concentraci�n, etc. Esto tanto en el caso estacionario como en el caso de evoluci�n temporal. Los dominios de aplicaci�n son as� extremadamente variados, desde las ecuaciones de reacci�n difusi�n, utilizadas por ejemplo en la teor�a de combusti�n o la din�mica de poblaciones, como en problemas de la teor�a de ondas o la mec�nica cu�ntica. En ciertos casos los resultados tienen consecuencias puramente te�ricas y en otros caso consecuencias muy concretas (din�mica de part�culas cargadas en semi-conductores.

Este proyecto no pretende cubrir todas estas cuestiones. Nosotros hemos seleccionado algunos problemas sobre los cuales esperamos realizar contribuciones significativas por m�todos originales. En cada caso vamos a desarrollar las herramientas que nos permitir�n llegar al tratamiento de estos problemas.

Ha sido observado desde hace tiempo que las ramas de bifurcaci�n en el problema de Brezis y Nirenberg supercr�tico, no son mon�tonas en el par�metro de perturbaci�n lineal. Se observan oscilaciones que son muy dif�ciles de seguir num�icamente y que desaparecen en el l�mite cr�tico. Con la ayuda de un m�todo de reducci�n finito dimensional y de un an�lisis asint�tico muy fino, pensamos explicar las causas de estas oscilaciones y dar una caracterizaci�n completa de las soluciones.

El l�mite semicl�sico de sistemas cu�nticos es una cuesti�n que ha sido abordada desde los inicios de la f�sica cu�ntica. Un principio natural consiste en la posibilidad de recuperar la mec�nica cl�sica en las escalas correspondientes. Si bien estas cuestiones son bastante bien entedidas en el casos lineales particulares, ellas estan lejos de ser entendidas en el caso de grandes sistemas y en el caso de interacciones no-lineales. Nos proponemos de estudiar particularmente los estados mixtos introduciendo dos herramientas nuevas: Los funcionales que intervienen en el estudio de la estabilidad din�mica de las soluciones, que son utilizados tanto a nivel cu�ntico como cl�sico, pero que no han sido, en nuestro conocimiento, utilizados en el estudio del l�mite semi-cl�sico, y herramientas basadas en la envoltura de funciones de onda, para el control de los t�rminos no-lineales.

Los operadores de Pucci son operadores completamente no-lineales definidos a partir del Hessiano de las soluciones e intervienen de manera central n la teor�a de regularidad el�ptica. Tambi�n aparecen en la teor�a de control estoc�stico y en aplicaciones en finanzas, en el estudio de opciones. Es nuestro objetivo estudiar propiedades b�sicas del operador de Pucci que permitan entender las diferencias (y similitudes) con el operador laplaciano. En particular nos interesa conocer sus propiedades de existencia en problemas semi-lineales, positividad y principio del m�ximo. Resultados parciales ya han sido obtenidos por Felmer y Quaas. Tambi�n nos interesa entender el l�mite singular de la ecuaci�n de evoluci�n asociada al operador de Pucci cuando uno de los par�metros tiende a cero, como la regularizaci�n de ciertos problemas de obst�culos.

Proyectos asociados:

Fondecyt Proyecto de L�neas Complementarias. Director: Manuel del Pino.
Fondecyt: Proyecto de Postodoctorado: Investigadora: Isabel Flores.
Fondap Matem�ticas Aplicadas: Manuel del Pino y Patricio Felmer, investigadores asociados.